SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH

TỈNH ĐĂK NÔNG
NĂM HỌC 2006-2007


Khóa thi ngày 20 -12 -2006


Môn thi: Toán

ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

 2




Câu 1: (4 điểm)
Cho đa thức

Hãy tính tổng
ở đó n là số nghiệm
của đa thức f(x)
Câu 2 : (4 điểm)
Giải hệ phương trình trong những số nguyên


Câu 3: (4 điểm)
Tìm tất cả các hàm số
thỏa mãn điều kiện


Câu 4 : (4 điểm)
Cho a, b, c >0 Tìm giá trị nhỏ nhất của


Câu 5 : (4 điểm)
Trong tam giác ABC, trên các cạnh AC và BC lần lượt lấy các điểm M và N còn trên đoạn MN lấy điểm L.
Đặt

Chứng minh rằng :


Hết













Đáp án
Điểm

 Câu 1
Ta có f(x) = 0






Gọi
là nghiệm của Pt (1) và
là nghiệm của phương trình (2). Khi đó
,
là nghiệm của f(x)
Tính :


Dùng định lí Viete


Giải tương tự


1 đ


0.5 đ



0.5 đ





1 đ

0.5 đ

0.5 đ

Câu 2
Pt thứ nhất




Thay vào pt thứ hai của hệ ta được


Suy ra x = 4, y = 6, z=2
KL (4,6,2) là nghiệm của hệ
1 đ
1 đ
1 đ
0.5 đ
0.5 đ

Câu 3
Đặt f(1) = a
Thay x bởi



Thay x bởi



Theo đề bài ta có :

Từ (1) suy ra

Dễ dàng kiểm tra hàm số thỏa đk bài toán.
KL
(a hằng số dương)
0.5 đ



1 đ




1 đ

0.5 đ

0.5 đ




0.5 đ

Câu 4
Áp dụng BĐT Cauchy – Shwarz ta có :






Suy ra


Mặt khác ta lại có :






KL MinT=2 Khi và chỉ khi a=b=c=d






1 đ



0.5 đ

1 đ


0.5 đ

1 đ

Câu 5





Ta có :

Theo BĐT Cô si :


Và do :

nên ta có :



Từ (1) và (2) suy ra :





0.5 đ








1 đ



0.5 đ


1 đ


0.5 đ


0.5 đ